Nechť se proud a napětí v elektrickém obvodu mění podle harmonického zákona. Nyní, abychom určili proud nebo napětí v libovolném bodě obvodu v daném čase, nestačí znát pouze amplitudu. Je také nutné mít informace o fázi signálu. Amplitudy a fázové posuny napětí a proudů je samozřejmě možné určit explicitně, například $I(t)=I_ sin left(omega t+varphi right)$, ale je to snazší udělat pomocí komplexních čísel. Místo sčítání a odčítání sinusových funkcí můžete snadno a jednoduše sčítat a odčítat komplexní čísla zapsaná v exponenciálním tvaru.
Libovolnou komplexní hodnotu $a + ib$ lze reprezentovat jako $Ae^,$, kde $A$ a $varphi $ jsou reálná čísla a $$ a+ib=Ae^ Rightarrow A=sqrt +b^ > , mbox< tg>(varphi) =frac . $$
Pro reprezentaci harmonických funkcí v exponenciálním tvaru se používají následující vzorce: $$ e^ =cos kx+isin kx, cos kx=frac(e^ +e^), sin kx=frac(e^ -e^), $$ kde $i$ je imaginární jednotka ($i^2=-1$).
Protože efektivní hodnoty napětí a proudu jsou reálné kvantitativní veličiny, které se v čase mění, stačí k převodu komplexní reprezentace na reálné kvantitativní veličiny použít následující pravidlo: [Aleft(tright)=Releft(Aleft(omega right)exp left(iomega triight)right), ], kde $Aleft(tright)$ $-$ je reálná fyzikální veličina (proud nebo napětí); $Aleft(omega right)$ $-$ je stejná veličina, ale v komplexní reprezentaci; $Re$ $-$ je operace odečtení reálné části. Pro určení reálné a imaginární části je nutné použít následující reprezentaci komplexních čísel: [z=Releft(zright)+i Vlevo (vpravo) = rho e^ =rho cdot levý(cos levý(varphi pravý)+i sin left(varphi right)right). ] Inverzní transformace se zapíše následovně: [Aleft(tright)=A_ cos left(omega t+varphi right)to A_ exp left(ivarphi right),] kde $A_ $ $-$ je amplituda harmonické složky reálného signálu na frekvenci $omega $.
Ohmův zákon pro obvody obsahující pouze lineární prvky (odpor, kapacita, indukčnost) se zapisuje v „obvyklém“ tvaru $U=Icdot Z$. Pouze všechny veličiny zahrnuté v zákoně jsou komplexní: $Z$ $-$ impedance lineární části obvodu; $U$ $-$ úbytek napětí na ní; $I$ $-$ proud protékající jí.
Impedance, aktivní a jalový odpor
Impedance je zobecněním pojmu odporu. Na rozdíl od rezistoru, jehož elektrický odpor charakterizuje poměr stejnosměrného napětí a proudu na něm, použití termínu elektrický odpor na reaktivní prvky (cívku a kondenzátor) vede k tomu, že odpor ideální cívky se blíží nule a odpor ideálního kondenzátoru k nekonečnu. Tento výsledek je zcela přirozený, protože odpor prvků se uvažuje při stejnosměrném proudu, tj. při nulové frekvenci, kdy se reaktivní vlastnosti neprojevují. V případě střídavého proudu se však vlastnosti těchto prvků výrazně liší: napětí na cívce a proud protékající kondenzátorem se nerovnají nule. To znamená, že reaktivní prvky se na střídavém proudu chovají jako prvky s určitým konečným „odporem“, který se nazývá elektrická impedance nebo jednoduše impedance.
Impedance lineární části obvodu je komplexní hodnota. Modul této komplexní hodnoty určuje vztah mezi amplitudami proudu a napětí, stejně jako obvyklý (aktivní) odpor prvku obvodu. Fáze komplexního čísla určuje fázový posun mezi proudem a napětím. Komplexní hodnoty nám umožňují plně popsat libovolný harmonický signál – jeho amplitudu a fázi (kapitola 2.1). Impedance se rovná podílu komplexní amplitudy napětí v dané části dělené komplexní amplitudou proudu. Reálná část impedance odpovídá aktivnímu odporu a imaginární část reaktivnímu odporu. To znamená, že prvek obvodu s impedancí lze považovat za rezistor s odporem a čistě reaktivní prvek s impedancí zapojené sériově.
Impedance obvodu obsahujícího několik prvků se vypočítává pomocí standardních pravidel. Impedance prvků zapojených sériově se sčítají a při paralelním zapojení se určují pomocí pravidla [frac > =frac [+frak > +frak > +ldots .]
Impedanci lze měřit speciálními zařízeními: RLC metrem nebo analyzátorem impedance (viz Dodatek 4). Tato zařízení umožňují měření v širokém rozsahu frekvencí a při různých předpětích.
Vektorové diagramy
Pro teoretickou analýzu procesů v obvodech obsahujících reaktivní prvky je vhodné použít metodu komplexních amplitud. Podstata metody je následující. V souladu s Eulerovým vzorcem lze komplexní číslo zapsat jako $e^ varphi > =cos left(varphi right)+icdot sin left(varphi right)$, kde $i$ je imaginární jednotka, a znázorníme ji v komplexní rovině jako vektor numericky rovný jedné pod úhlem $varphi $ k reálné ose (obr. 4,a). Vektor nejednotkové délky, například funkce $I=I_ cdot e^ $ v tomto případě bude reprezentován vektorem znázorněným na obr. 4,b.
Kirchhoffovy zákony
Základními zákony pro určování proudů a napětí v lineárních obvodech jsou Ohmův zákon a dva Kirchhoffovy zákony.
Kirchhoffův první zákon se vztahuje k proudům, které sbíhají v určitém bodě (uzlu) obvodu: součet vstupních a výstupních proudů pro daný uzel je nulový: začátek označení sum _^I_ =0. konec
To znamená, že proudy se nemohou hromadit v žádném uzlu obvodu. Proudy tekoucí do uzlu mají znaménko plus a proudy vytékající z uzlu mají znaménko mínus.
Kirchhoffův druhý zákon říká, že součet úbytků napětí na prvcích, které tvoří libovolnou uzavřenou smyčku v obvodu, se rovná součtu zdrojů elektromotorického napětí v dané smyčce: začátek označení suma _^U_ =suma _^E_k . konec
Libovolně dané směry proudů $I_ $ vedou ke kladnému příspěvku $U_ $, pokud se shodují s libovolně zvoleným směrem průchodu obvodem. Vnější elektromotorické síly $E_ $ mají kladné znaménko, pokud zvyšují potenciál ve stejném směru.
Výkon ztrátový v obvodech s $R, L, C$ ve střídavých obvodech
Procesy přenosu energie v elektrickém obvodu, disipace energie nebo přeměna energie z jedné formy do druhé jsou charakterizovány výkonem $p$. Ten určuje intenzitu přenosu nebo přeměny energie a rovná se množství energie přenesené nebo přeměněné za jednotku času. Okamžitý výkon vyrobený nebo odevzdaný libovolnou částí obvodu se dvěma vstupy (dvou-pólová síť) se rovná rychlosti práce vykonané v daném okamžiku [pleft(tright)=frac =frac qDelta varphi =Uleft(tright)cdot Ileft(tright). ] Napětí a proud na vstupu dvou-pólové sítě lze obecně fázově posunout o úhel $psi $. V tomto případě se okamžitý výkon zapíše jako $$ pleft(tright)=U_ cos left(omega, trright)cdot I_ cos left(omega, t+psi right)= $$ $$ U_ I_ cos left(psi right)+frac U_ I_ cos left(2omega, t+psi right)> . $$ Je zřejmé, že okamžitý výkon má konstantní a harmonickou složku, jejíž frekvence je 2krát větší než frekvence napětí a proudu. Dvoupólová síť přijímá energii z externího obvodu, když je okamžitý výkon kladný, a vrací ji zpět do externího obvodu, když je záporný. Takový návrat je možný, protože energie může být uložena v elektrickém (kondenzátor) nebo magnetickém (indukčnost) poli obvodových prvků, které tvoří dvoupólovou síť. Pokud dvoupólová síť obsahuje pouze odpory, pak se v ní energie nemůže akumulovat. V tomto případě nedochází k žádnému posunu mezi napětím a proudem.
Průměrná hodnota okamžitého výkonu za danou periodu se nazývá činný výkon. Rovná se [P=frac U_ I_ cos left(psi right)=UIcos left(psi right).] Zde $U$ a $I$ jsou efektivní hodnoty proudu a napětí, které se od maximálních hodnot liší o $sqrt$: $$ U=frac , I=frakce Při analýze elektrických obvodů se často používají pojmy jalový [Q=UIsin left(psi right)] a zdánlivý výkon [left|Sright|=sqrt].
. ] Zdánlivý výkon definuje maximální hodnotu amplitudy harmonické složky výkonu cirkulujícího sítí se dvěma svorkami.
Analogicky s konceptem impedance v obvodech střídavého proudu se zavádí komplexní výraz pro výkon [S=Ucdot I^ =U, I, e^ =UIcos vlevo(psi vpravo)+i, UIsin vlevo(psi vpravo)=P+iQ. ] Operace $I^ $ znamená konjugovanou hodnotu komplexní hodnoty proudu $I$.
Na komplexní rovině (obr. 5) bude celkový výkon reprezentován vektorem $S$, podobně jako vektor $I$ na obr. 4, a jeho projekce na reálnou osu bude rovna činnému výkonu $Re, S=UIcos vlevo(psi vpravo)=P$, a na imaginární $Im, S=UIsin vlevo(psi vpravo)=Q$, jalovému výkonu.
Trojúhelník kapacity
Obvykle se u výkonu samotná komplexní rovina nezobrazuje a výsledné vztahy mezi složkami výkonu, znázorněné na obr. 5,b, se nazývají mocenský trojúhelník. Pokud je úhel $psi$ na obr. 5,b kladný, pak je celková impedance obvodu indukční. U kapacitní impedance je úhel $psi$ záporný a u čistě aktivní zátěže je nulový a celkový výkon se shoduje s činným výkonem.
Přechodné procesy
Pokud obvod obsahuje nejen aktivní, ale i reaktivní prvky, pak se v prvním okamžiku po jeho připojení ke zdrojům elektrické energie (elektrického signálu) procesy v něm mohou značně lišit od těch, které budou probíhat v ustáleném (stacionárním) režimu. To je dáno tím, že v reaktivních prvcích je v počátečním okamžiku po zapnutí „rezerva“ energie, která se pak v ustáleném režimu zachová nebo přenese z jednoho reaktivního prvku nebo typu na jiný. Počáteční procesy provozu takových obvodů, probíhající bezprostředně po přepnutí (zapnutí/vypnutí) nebo prudké změně hnací síly, se v elektrických obvodech nazývají přechodové procesy. Doba trvání přechodových procesů může být velmi krátká (až zlomky mikrosekundy), ale proudy a napětí, které v tomto případě vznikají, mohou mnohonásobně překročit své hodnoty v ustáleném režimu.
Pro nejjednodušší analýzu přechodových procesů lze použít následující pravidla:
nenabitá kapacita v prvním okamžiku představuje zkrat, plně nabitá kapacita představuje přerušení;
Indukčnost v počátečním okamžiku po připojení ke zdroji napětí (na začátku toku proudu) představuje velmi velký odpor, tj. proud, který jí protéká, bude minimální.
Například při zvažování jednoduchého obvodu znázorněného na obr. 6 lze uvažovat následovně.
V počátečním okamžiku $(t = 0)$ představuje indukčnost v obvodu velmi velký odpor ab, proto v našem systému neprotéká žádný proud a úbytek napětí na odporu $R = 1 Omega $ je nulový. Poté, v čase přibližně $tau approx frac LR = 50 μ$s, proud dosáhne hodnoty $0,5$A a pojistka Pr1 se přepálí a proud se přepne do obvodu. cd s odporem $100 Omega .$ Rychlost nárůstu je určena minimem odporů v obvodech be и cdOdpovídající časová závislost napětí na odporu $1 Omega $ vypadá takto (obr. 7). Pokud chceme získat přesnější popis přechodových procesů probíhajících v elektrickém obvodu obsahujícím pasivní prvky, musíme použít dva Kirchhoffovy zákony a doplnit je zákony vztahu mezi proudem a napětím pro každý prvek.
- vpravo) mbox < (SI). >$$ Tuto diferenciální rovnici lze numericky řešit pomocí matematických balíčků MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple atd. V případě jednoduché závislosti U(t) lze její řešení zapsat v analytické formě.
Řešení získané nehomogenní diferenciální rovnice, jak je známo, se skládá ze součtu dvou řešení – řešení homogenní rovnice (s pravou stranou rovnou nule) a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Úplné řešení homogenní lineární diferenciální rovnice lze reprezentovat jako součet $sum _I_ e^
$. Každé elementární řešení $sum _I_ e^
$ popisuje buď harmonický proces ($p_ $ $mathrm$ je imaginární číslo), nebo exponenciální proces ($p_ $ $-$ je reálné číslo), nebo kombinaci těchto procesů ($p_ $ $-$ je komplexní číslo). Fyzikální význam mají obvykle pouze procesy s klesajícím, nikoli nekonečně rostoucím exponenciálním členem v řešeních. To znamená, že v počátečním okamžiku po přepnutí je na signál externího generátoru vždy superponován určitý exponenciálně klesající proces, který se nazývá přechodový.
Všimněte si, že definice přechodového procesu závisí na tom, co je zvoleno jako stacionární proces. Proto jsou například na obr. 9 současně znázorněny dva přechodové procesy. Jeden je spojen s přechodem na stacionární periodický proces (oblast A) a druhý s přechodem z jedné konstantní hodnoty napětí na druhou (oblast B).
