Simplexní nebo n-dimenzionální tetraedr (z latinského simplex ‘jednoduchý’) – geometrický útvar, který je n-dimenzionální zobecnění trojúhelníku.
Definice
Simplex (přesněji řečeno, n-simplex, kde číslo n tzv. dimenze simplex) je konvexní obal n + 1 bod afinního prostoru (dimenze n nebo více), u kterých se předpokládá, že jsou afinně nezávislé (tj. neleží v podprostoru dimenze n – 1). Tyto body se nazývají vrcholy simplexní.
Simplex lze charakterizovat jako množinu všech možných konvexních kombinací jeho vrcholů A i > :
Související definice
- Otevřený simplex se nazývá množina všech možných barycentrických kombinací jejích vrcholů s pozitivní koeficienty (v tomto případě se simplex se stejnými vrcholy, splňující definici z předchozí části, nazývá také uzavřený simplex; v souladu s terminologií obecné topologie je uzavřený simplex uzávěrem odpovídajícího otevřeného simplexu a tento otevřený simplex je otevřeným jádrem uzavřeného simplexu).
- Kostra Množina všech vrcholů simplexu se nazývá množina všech jeho vrcholů.
- Žebra Úsečky spojující vrcholy simplexu se nazývají úsečky.
- Fasety rozměry s simplexy se nazývají s-dimenzionální simplexy, jejichž kostry jsou podmnožinami kostry původního simplexu.
- Simplex se nazývá orientované, pokud je jeho kostrou dobře uspořádaná množina; v tomto případě se předpokládá, že řády, které se od sebe liší sudou permutací vrcholů, definují stejnou orientaci (orientovaný 0-simplex je bod, kterému je přiřazeno znaménko: „plus“ nebo „mínus“).
- Simplex ležící v euklidovském prostoru se nazývá správně, pokud všechny jeho hrany mají stejnou délku.
Standardní simplex
standard n-simplex — je podmnožinou aritmetického prostoru R n + 1 ^> , definovaného jako
Jeho vrcholy jsou body
e0 = (1, 0, …, 0), e1 = (0, 1, …, 0), … en = (0, 0, …, 1).
Existuje kanonické mapování standardu jedna ku jedné n– simplexní na jakékoli jiné n-simplex Δ s vrcholovými souřadnicemi (v0, v1, …, vn), v_, tečky, v_)>:
(t0, …, tn) ↦ ∑ itivi., tečky,t_)mapování na součet _t_v_.>
Hodnoty ti > pro daný bod simplexu Δ se nazývají jeho barycentrické souřadnice.
Vlastnosti
- n-dimenzionální simplex má n + 1 vrcholů, z nichž libovolných k + 1 tvoří k-rozměrná hrana.
- Zejména počet k-rozměrné tváře v n-simplex se rovná binomickému koeficientu (n + 1 k + 1). >.>
- Zejména počet ploch nejvyšší dimenze se shoduje s počtem vrcholů a je roven n + 1.
- Cayley-Mengerův determinant nám umožňuje vypočítat objem simplexu, pokud známe délky jeho hran: V 2 = ( − 1 ) n − 1 2 n ( n ! ) 2 | 0 1 1 1 … 1 1 0 d 01 2 d 02 2 … d 0 n 2 1 d 10 2 0 d 12 2 … d 1 n 2 1 d 20 2 d 21 2 0 … d 2 n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 dn 0 2 dn 1 2 dn 2 2 … 0 | , =>(n!)^>>0&1&1&1&tečky &11&0&d_^&d_^&tečky &d_^1&d_^&0&d_^&tečky &d_^1&d_^&d_^&0&tečky &d_^vtečky &vtečky &vtečky &ddtečky &vtečky 1&d_^&d_^&d_^&d_^&tečky &0konec>,>
- Hlasitost správně n-simplex s jednotkovou stranou se rovná n + 1 n ! ⋅ 2 n / 2 >>>> .
- Poloměr R opsané křivky n-rozměrná koule splňuje vztah (R ⋅ V)² = T,
Budova
Pokud je dimenze prostoru rovna n, pak skrze libovolný n Z jejích bodů lze sestrojit nadrovinu a existují množiny n + 1 bod, kterými nelze nadrovinu protáhnout. Tedy n + 1 — minimální počet takových bodů n-dimenzionální prostor, které neleží ve stejné nadrovině; tyto body mohou sloužit jako vrcholy n-dimenzionální mnohostěn.
Nejjednodušší n-dimenzionální mnohostěn s počtem vrcholů n +1 je přesně to, jak se to jmenuje simplexní (název “n-dimenzionální tetraedr“). V prostorech s nižší dimenzí odpovídají této definici následující obrázky:
- 0-simplex (bod) – 1 vrchol;
- 1-simplex (úsečka) – 2 vrcholy;
- 2-simplex (trojúhelník) – 3 vrcholy;
- 3-simplex (tetraedr) – 4 vrcholy.
Všechny tyto obrazce mají tři společné vlastnosti.
Popsaná koule
Kolem kohokoli n-simplex v euklidovském prostoru lze popsat n-koule.
Pro 1-simplex je toto tvrzení zřejmé. Opsaná 1-koule bude dva body stejně vzdálené od středu úsečky, shodující se s konci úsečky, a její poloměr bude R = a/2. Přidejme k 1-simplexu ještě jeden bod a zkusme kolem něj popsat 2-kouli.
Sestrojme 2-kouli s0 poloměr a/2 tak, aby segment AB byl jeho průměr. Pokud by bod С je mimo kruh s0, poté zvětšením poloměru kružnice a jejím posunutím směrem k bodu С, je možné dosáhnout toho, aby všechny tři body ležely na kružnici. Pokud bod С leží uvnitř kruhu s0, pak můžete kružnici upravit do tohoto bodu zvětšením jejího poloměru a posunutím na stranu opačnou k bodu СJak je vidět z obrázku, lze to provést v každém případě, když bod С neleží na stejné přímce s body А и ВAsymetrické umístění hrotu také není na překážku. С vzhledem k segmentu AB.
V obecném případě předpokládejme, že existuje (n − 1)-koule Sn-1 poloměr r, popsané kolem některých (n–1)-rozměrný útvar. Umístěme střed koule do počátku souřadnic. Rovnice koule bude
x1/2 + x2/2 + x3/2 + ⋯ + xn − 1/2 = r2. (1) ^+x_^+x_^+tečky +x_^=r^.qquad (1)>
Pojďme stavět n– koule se středem v bodě (0, 0, 0, . 0, hS) a poloměr R, navíc
Rovnice této koule je
x1/2 + x2/2 + x3/2 + ⋯ + xn − 1/2 + (xn − hS)/2 = r/2 + hS/2, ^+x_^+x_^+tečky +x_^+(x_-h_)^=r^+h_^,>
x1/2 + x2/2 + x3/2 + ⋯ + xn − 1/2 = r2 − xn/2 + 2xnhS. (2) ^+x_^+x_^+tečky +x_^=r^-x_^+2x_h_.qquad (2)>
Dosazením do rovnice (2) xn = 0, dostaneme rovnici (1). Tedy pro libovolné hS rozsah Sn−1 je podmnožinou sféry Sn, a to jeho řez rovinou xn = 0.
Předpokládejme, že bod С má souřadnice (x1, x2, x3,. xn ). Rovnici (2) transformujeme do tvaru
x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + ⋯ + xn − 1 2 + xn 2 = r 2 + 2xnh S ^+x_^+x_^+tečky +x_^+x_^=r^+2x_h_>
a dosadíme do něj souřadnice bodu С:
X1/2 + X2/2 + X3/2 + ⋯ + Xn − 1/2 + Xn/2 = r2 + 2XnhS. ^+X_^+X_^+tečky +X_^+X_^=r^+2X_h_.>
Výraz na levé straně je druhá mocnina vzdálenosti RC od počátku k bodu C, což nám umožňuje zredukovat poslední rovnici na tvar
odkud lze parametr vyjádřit hS:
Je zřejmé, že hS existuje pro libovolné RC, Xn и rkromě Xn = 0. To znamená, že pokud bod С neleží v rovině koule Sn-1, takový parametr vždycky najdete hS, co je na kouli Sn se středem (0, 0, 0, . hS) bude ležet a koule Sn-1 a tečka С. Tedy kolem jakéhokoli n + 1 bod lze popsat n-koule, pokud n z těchto bodů leží na jednom (n – 1)-sféra a poslední bod s nimi neleží ve stejné (n – 1)-roviny.
Indukcí můžeme konstatovat, že n– kouli lze popsat kolem libovolné n + 1 bod, pokud neleží ve stejné (n – 1)-roviny.
Počet stěn simplexu
Simplex má n + 1 vrcholů, z nichž každý je spojen hranami se všemi ostatními vrcholy.
Protože všechny vrcholy simplexu jsou vzájemně propojeny, má jakákoli podmnožina jeho vrcholů stejnou vlastnost. To znamená, že jakákoli podmnožina L + 1 vrchol simplexu jej definuje L-dimenzionální fazeta a tato fazeta sama o sobě je L-simplex. Pak pro simplex číslo L-dimenzionální plochy se rovnají počtu způsobů, jak si vybrat L + 1 vrchol z celé množiny n + 1 vrcholů.
Označme symbolem К(L, n) číslo L-rozměrné tváře v n-mnohostěn; pak pro n-simplex
kde C nk ^> je počet kombinací n na k.
Zejména počet ploch nejvyšší dimenze se rovná počtu vrcholů a rovná se n + 1:
K(0, n) = K(n − 1, n) = n + 1.
Relace v regulárním simplexu
Pro pravici n-dimenzionální simplex označujeme:
Vzorce pro regulární simplex
Simplexy v topologii
Topologický simplex je podmnožinou topologického prostoru, která je homeomorfní k simplexu nějakého afinního prostoru (nebo ekvivalentně ke standardnímu simplexu odpovídající dimenze). Pojem topologického simplexu je základem teorie simpliciálních komplexů (simpliciální komplex je topologický prostor reprezentovaný jako sjednocení topologických simplexů, které tvoří triangulaci daného prostoru).
- Pervomajskij (Ukhta (městská část))
- Khairutdinov, Minigarey Kalmutdinovich
- Brasília (letiště)
- Nanqiao
- Golovenčenko, Fjodor Michajlovič
Informační nekomerční zdroj wmj.su ©
Při citování a použití jakýchkoli materiálů je vyžadován odkaz na stránky.
Články na stránky přidává mnoho autorů a v případě porušení vašich práv kontaktujte správce přes formulář „Kontakty“.
