Geometrie — je obor matematiky, který se zabývá studiem tvarů a jejich rozměrů. Zaměřuje se také na relativní konfiguraci forem a jejich prostorové vlastnosti.
Všechny geometrické obrazce se skládají z bodů, čar, paprsků a plochých ploch. Když se dvě přímky nebo paprsky sbíhají v bodě, měření mezi těmito dvěma přímkami se nazývá úhel. V tomto článku budeme diskutovat o tom, co je úhel, jaké jsou různé typy úhlů a jejich význam s příklady.
Definice úhlu v matematice
co je úhel? Úhel Je to geometrický útvar tvořený dvěma paprsky nebo úsečkami, které mají společný koncový bod (vrchol). Tyto dva paprsky se nazývají strany úhlu a bod, kde se paprsky protínají, se nazývá vrchol.
Úhel ležící v rovině nemusí nutně ležet v euklidovském prostoru. Pokud jsou úhly tvořeny průsečíkem dvou rovin v euklidovském nebo jiném prostoru, jsou takové úhly považovány za dihedrální.
Strany úhlu – paprsky, které svírají úhel (A, B).
Vrchol úhlu – bod, ze kterého vycházejí paprsky (O).
Úhel rozděluje rovinu na dvě části. Pokud úhel není přímý, pak se jedna část roviny nazývá oblast vnitřního úhlu a druhá část se nazývá oblast vnějšího úhlu. Níže je obrázek vysvětlující, které části jsou vnější a které vnitřní.
Pokud se úhly měří podél přímky, můžeme najít dva různé typy úhlů, jako je kladný úhel a záporný úhel.
- Pozitivní úhel: Jde-li úhel proti směru hodinových ručiček, nazývá se kladný úhel.
- Záporný úhel: Pokud je úhel směrován ve směru hodinových ručiček, nazývá se negativní úhel.
Slovo “roh” pochází z latinského slova Angulus, význam “mírný ohyb”.
Pojem úhlu poprvé použil Eudemus, který úhel definoval jako odchylku od přímky.
Jak označit úhly?
Úhel obrázku je označen symbolem «∠». Existují dva různé způsoby, jak označit úhly:
- Metoda 1:
Obvykle se úhel označuje malými písmeny, jako je „a“, „x“ atd., nebo řeckými písmeny alfa (α), beta (β), theta (θ) atd. - Metoda 2:
Pomocí tří písmen na postavách. Prostřední písmeno by mělo být vrcholem (skutečným rohem).
Například ABC je trojúhelník. Aby byl úhel A roven 60 stupňům, můžeme jej definovat jako ∠BAC = 60°.
Existuje šest typů úhlů. Každý typ úhlu má jedinečnou identifikaci založenou na měření úhlu.
Pojďme si přečíst o každém typu úhlu zvlášť spolu s jejich vlastnostmi.
- Ostrý roh – je úhel, jehož míra stupňů je větší než 0° a menší než 90°.
- Pravý úhel – když je úhel měření 90 stupňů, nazývá se pravý úhel.
Pravý úhel lze snadno pozorovat, protože tvoří tvar písmene L. - Tupý úhel – když je naměřený úhel menší než 180 stupňů, ale větší než 90 stupňů,
Toto je tupý úhel. - Přímý úhel — úhel tvořený přímkou se nazývá pravý úhel. Tento
polovina plné otáčky kruhu. Velikost pravého úhlu je 180°. - Konvexní roh – je úhel, jehož hodnota je větší než 180°, ale menší než 360°.
- Plný úhel – když je úhel měření 360 stupňů, jedná se o plný úhel.
Série úhlů se vytvoří, když příčný protíná dvě nebo více čar. Konkrétní názvy jsou dány dvojicím úhlů v závislosti na poloze úhlu vzhledem k přímkám. Čáry mohou být buď rovnoběžné, nebo neparalelní.
Úhly tvořené průsečíkem dvou přímek
Když se dvě přímky protnou, vytvoří se dva typy úhlů:
Sousední úhly
Nazývají se dva úhly příbuzný, pokud mají společný vrchol a jednu společnou stranu a další dvě strany jsou umístěny na stejné čáře a svírají přímý úhel. Sousední úhly se vzájemně doplňují, protože jsou pokračováním jednoho druhého.
Vlastnosti sousedních úhlů
- Součet sousedních úhlů je 180°
- Jsou-li oba sousední úhly navzájem stejné, jsou to pravé úhly.
- Ve dvojici sousedních úhlů je jeden vždy ostrý a druhý tupý, nebo jsou oba úhly pravé.
- Sinus sousedních úhlů je stejný.
- Kosiny, tečny a kotangens sousedních úhlů jsou stejné, ale mají opačná znaménka.
Vertikální úhly
Vertikální úhly – dvojice úhlů, ve kterých jsou strany jednoho úhlu pokračováním stran druhého.
Vlastnictví: vertikální úhly jsou stejné.
Příklad:
Dvojice úhlů 1 a 3; 2 a 4 jsou vertikální
Podle vlastnosti vertikálních úhlů:
[úhel COD=úhel AOB]
[úhel BOD=úhel AOC]
Dvojice úhlů 1 a 2, 2 a 3, 3 a 4, 4 a 1 sousedí
Podle vlastnosti sousedních úhlů:
[úhel CO D+úhel DOB=180^]
[úhel DO B+úhel BOA=180^]
[úhel BO A+úhel AOC=180^]
[úhel AO C+úhel COD=180^]
| Sousední úhly | Vertikální úhly |
| Dva úhly se společnou stranou a vrcholem se nazývají sousední. | Když se dvě přímky vzájemně protínají, dvojice protilehlých úhlů vytvořených ve vrcholu se nazývají vertikální úhly. |
| Mají společnou stranu a společný vrchol. | Mají společný vrchol, ale nemají společnou stranu. |
| Sousední úhly nejsou vždy stejně velké. | Vertikálně opačné úhly mají stejnou velikost |
Rozdíl mezi sousedními a vertikálními úhly
Porovnání úhlu
Pro porovnání úhlů můžete použít nejjednodušší metodu – metodu superpozice. Chcete-li to provést, musíte spojit dva vrcholy a stranu jednoho úhlu se stranou druhého. Pokud se strany těchto úhlů shodují, pak jsou úhly stejné. V opačném případě bude úhel, který je uvnitř druhého, menší. Zde jsou dva jasné příklady se stejnými a nestejnými úhly:
[úhel A_ O_ B_] a [úhel A_ O_ B_] jsou při překrývání zcela kombinovány, proto: [úhel A_ O_ B_=úhel A_ O_ B_]
[úhel A_ O_ B_] a [úhel A_ O_ B_] se při překrývání neshodují: [úhel A_ O_ B_ neq úhel A_ O_ B_]
V tomto případě jsou přímé úhly vždy stejné.
Kombinace úhlů [úhel ABC] a [úhel MNK] nastává následovně:
- Spojíme vrchol B jednoho úhlu s vrcholem N druhého úhlu.
- Stranu BA jednoho rohu položíme na stranu NM druhého rohu tak, aby strany BC a NK byly umístěny ve stejném směru.
Pokud se ostatní strany shodují, pak jsou úhly stejné: ∠ABC = ∠MNK.
Pokud ne, pak je jeden úhel menší než druhý: ∠ABC
Některé důležité věty založené na přímkách a úhlech:
- Pokud jsou dvě rovnoběžné přímky protnuty transverzálou, pak sousední vnitřní úhly mají stejnou hodnotu.
- Pokud jsou dvě rovnoběžné přímky protnuty transverzálou, pak mají opačné vnější úhly stejnou hodnotu.
- Pokud jsou dvě rovnoběžné přímky protnuty transverzálou, pak mají odpovídající úhly stejnou hodnotu.
- Jsou-li dvě rovnoběžné přímky protnuty příčkou, pak vnitřní úhly na jedné straně této příčky sousedí.
- Svislé úhly jsou stejné, když čára protíná čáry. Čáry mohou být buď rovnoběžné, nebo neparalelní.
Měření úhlu
Existuje několik jednotek měření úhlů. Podívejme se na nejčastěji používané měrné jednotky:
Míra stupně
Celá otáčka, tedy když jsou počáteční a koncová strana po otočení ve směru nebo proti směru hodinových ručiček ve stejné poloze, se dělí na 360 jednotek tzv. stupně. Takže, pokud je rotace z počáteční strany na konečnou stranu [left(fracright)] otočení, pak se říká, že úhel má míru jednoho stupně. Označuje se jako 1°.
Čas měříme v hodinách, minutách a sekundách, kde 1 hodina = 60 minut a 1 minuta = 60 sekund. Totéž platí při měření úhlů
- 1 stupeň = 60 minut, označovaný jako 1° = 60′.
- 1 minuta = 60 sekund, označeno jako 1′ = 60″.
Radiánová míra
Radiánová míra je o něco složitější než míra stupňů. Představte si kruh o poloměru 1 jednotky. Dále si představte oblouk kruhu o délce 1 jednotky. Úhel svíraný tímto obloukem ve středu kružnice má míru 1 radián. Takhle to vypadá:
Zde jsou některé další příklady úhlů: -1 radián, radián, [1 frac] radián, [-1 frac] radián.
Obvod = [2 pi r ldots] kde r — poloměr kruhu. Pro kruh o poloměru 1 je tedy obvod [2 pi]. Proto jedna úplná rotace počáteční strany svírá ve středu úhel [2 pi] radiánů. Abychom to shrnuli, máme:
V kruhu o poloměru r oblouk délky r svírá ve středu úhel 1 radián. Proto v kruhu o poloměru r oblouk délky l bude sevřen úhlem = [frac] radiánů. Když to zobecníme, máme kruh o poloměru r, je-li délka oblouku l tvoří úhel θ radiány ve středu, pak:
Vztah mezi mírami stupně a radiánů
Z definic stupně a radiánu víme, že úhel, který svírá kruh ve středu, je:
- 360° – ve stupních
- [2 pi] radiány – v radiánech
Proto [2 pi] radiány = 360° ⇒ [pi] radiány = 180°. Nyní dosaďte přibližnou hodnotu [pi] jako [frac] ve výše uvedené rovnici a získejte 1 radián [frac> =57^ 16^ ]. Kromě toho [1^=frac >] radiánů = přibližně 0,01746 radiánů. Níže je tabulka ukazující vztah mezi stupni a radiány některých běžných úhlů:
Zkusme změřit úhel [úhel AOB]
Kroky k měření úhlu [angle mathrm].
Krok 1: Zarovnejte úhloměr s paprskem OB, jak je znázorněno níže. Začněte číst od značky 0° v pravém dolním rohu úhloměru.
Krok 2: Číslo na úhloměru, které se shoduje s druhým paprskem, je mírou úhlu. Změřte úhel pomocí čísla na “spodním oblouku” úhloměru. Tedy ∠ AOB = 37°
Dále zkusme změřit toto ∠AOC:
Krok 1: Změřte úhel od značky 0° v levém dolním rohu.
Krok 2: Číslo na „horním oblouku“ úhloměru, které se shoduje s OA, je míra ∠ AOC. Tedy ∠ AOC = 143°
Jak konstruovat úhly
Ke konstrukci úhlů používáme úhloměr. Nakreslíme úhel 50°.
Krok 1: Nejprve nakreslete paprsek OB a zarovnejte úhloměr s OB podle obrázku.
Krok 2: Umístěte tečku přes značku na úhloměru, která odpovídá 50°.
Krok 3: Odstraňte úhloměr a nakreslete paprsek začínající v bodě O a procházející tímto bodem. ∠AOB je tedy požadovaný úhel, tzn. ∠AOB = 50°.
Poznámka. Jde-li paprsek opačným směrem, měříme úhel od značky 0° v levém dolním rohu.
Obrázek níže ukazuje, jak nakreslit úhel 50°, když paprsek míří jiným směrem.
Označení rohů ve výkresu
Pro pohodlné zobrazení oblouků a úhlů se používají výkresy. Není vždy možné správně zobrazit a označit konkrétní úhel, oblouk nebo název. Stejné úhly jsou definovány jako identický počet oblouků, zatímco nestejné úhly jsou definovány jako různý počet.
Výkres ukazuje správné označení ostrých, stejných a nestejných úhlů.
Pokud je nutné označit více než tři úhly, pak se používají speciální označení oblouků, například zubatý nebo zvlněný, ale v zásadě to nemá velký význam.
Zápis úhlů by měl být jednoduchý, aby nerušil jiné významy. Při řešení problému se doporučuje uvést pouze úhly potřebné k řešení, aby nedošlo k přetížení celého výkresu. To nebude narušovat řešení problému a také dodá kresbě estetický vzhled.
