Matice je tabulka hodnot (čísel, výrazů, písmen) uzavřených ve složených závorkách (matice), [matice], , , ||matice||.
Pokud matice obsahuje jeden řádek, nazývá se řádkový vektor nebo řádková matice nebo řádková matice. Například řádkový vektor obsahující souřadnice vektoru v prostoru
Pokud matice obsahuje jeden sloupec, nazývá se sloupcový vektor nebo sloupcová matice nebo sloupcová matice. Například sloupcový vektor obsahující souřadnice vektoru:
Nulová matice O se skládá z prvků, které jsou všechny nulové.
Matice s m řádky a n sloupci se nazývá matice m krát n. Prvky matice mají indexy, z nichž první označuje číslo řádku a druhý číslo sloupce. V případě matic je na prvním místě vždy řádek a na druhém místě sloupec! Například prvek prvního řádku prvního sloupce bude označen 11, prvek druhého řádku ve třetím sloupci je označen jako 23, prvek m-tého řádku n-tého sloupce a mn Matice 3 x 4 (můžete zapsat 3 x 4) bude vypadat takto:
Matice m x n (mxn)
Matice se nazývají shodné, pokud obsahují stejný počet řádků a sloupců a jejich odpovídající prvky jsou také shodné.
Čtvercová matice obsahuje stejný počet řádků a sloupců a nazývá se čtvercová matice mxm. Počet řádků m se nazývá řád čtvercové matice.
Prvky čtvercové matice a 1 1 , je 2 2 , … , a mm tvoří hlavní diagonálu a druhou diagonálu tvoří prvky a 1m , je 2m-1 , … , a m1 .
Čtvercová matice se nazývá symetrická, pokud jsou její prvky symetrické vzhledem k hlavní diagonále stejné.
Čtvercová matice se nazývá diagonální, pokud jsou všechny její prvky, které nepatří do hlavní diagonály, rovny nule.
Jednotková matice E je diagonální matice s prvky na hlavní diagonále rovnými 1
Trojúhelníková čtvercová matice obsahuje na jedné straně hlavní diagonály nulové prvky. Horní a dolní trojúhelníková matice jsou tedy:
Při násobení matice A o velikosti m číslem n koeficientem k se každý prvek a této matice vynásobí koeficientem k. Například matice A o velikosti 2 krát 2
Společný dělitel všech prvků matice lze vzít mimo znaménko matice.
Vlastnosti násobení matic číslem:
2) (kb)A = k(bA) = b(kA), kde k, b ∈ R;
4) 0 ּ A = 0.
Při sčítání matic o velikosti m krát n se sčítají odpovídající prvky. Například matice 2 krát 2
Při odčítání matic o velikosti m x n se odečítají odpovídající prvky. Například matice 2 x 2
Vlastnosti součtu matic:
komutativita A + B = B + A;
asociativita (A + B) + C = A + (B + C);
distributivita k násobení číslem k ∈ R: k (A+B) = k A+ k B;
O + A = A, kde O je nulová matice;
A + (–A) = O , kde (–A) je matice opačná k matici A;
(A + B) T = A T + B T.
Při násobení matic se operace provádějí s řádky 1. matice a sloupci 2. matice. V průsečíku i-tého řádku 1. matice s j-tým sloupcem 2. matice se ij-tý prvek výsledné matice získá vynásobením prvků i-tého řádku 1. matice prvky j-tého sloupce 2. matice:
Pro i = 1 a j = 1 dostaneme prvek v průsečíku 1. řádku a 1. sloupce
Prvky 1. řádku 1. matice se vynásobí prvky 1. sloupce 2. matice a sečtou se součinem následujících prvků 1. řádku 1. matice prvky 1. sloupce 2. matice: první prvek řádku se vynásobí prvním prvkem sloupce, poté se sečtou se součinem druhého prvku řádku druhým prvkem sloupce atd. Počet prvků v řádku (počet sloupců) první matice se tedy musí rovnat počtu prvků ve sloupci (počet řádků) matice, kterou násobíme. Vynásobením matic v průsečíku řádku a sloupce se získá odpovídající prvek výsledné matice.
Prvky matice C se vypočítají následovně:
Vlastnosti součinu matic:
1) nekomutativita: AB ≠ BA, i když A a B a B a A jsou konzistentní. Pokud AB = BA, pak se matice A a B nazývají komutující (v tomto případě budou matice A a B nutně čtvercové).
2) pro libovolné čtvercové matice komutuje jednotková matice E s libovolnou maticí A stejného řádu, a v důsledku toho získáme stejnou matici A, tj. AE = EA = A.
4) součin dvou matic může být roven nule, zatímco matice A a B mohou být nenulové.
5) asociativita ABC=A(BC)=(AB)C:
6) distributivita vzhledem k sčítání:
7) (A∙B) T = B T ∙A T , pořadí násobení se změní!
Determinant existuje pouze pro čtvercovou matici. Determinant matice je tabulka hodnot (čísel, výrazů, písmen) uzavřených ve svislých čarách |determinant matice|. Determinant matice A lze zapsat jako |A|, Δ a jako det A.
Pro čtvercovou matici existuje determinant. V tomto případě je tabulka hodnot uzavřena mezi dva svislé pruhy. Například determinant a druhý řád
Determinanty třetího řádu
Pro čtvercovou matici A
Příklad: Najděme determinant matice 2 krát 2
O determinantu matice
= 1 · 2 — 4 · 3 = — 10
Pokud se řádky matice A prohodí se sloupci, získá se transponovaná matice A T. To se provede tak, že se 1. řádek umístí do 1. sloupce, 2. řádek do 2. sloupce atd. Pokud je matice A rozměrů m krát n, pak transponovaná matice A T bude rozměrů n krát m.
Například, vzhledem k matici 2 krát 2
Algebraický doplněk prvku a ij matrice:
kde i je číslo řádku;
j – číslo sloupce;
M ij – minor prvku a ij , což je determinant prvků matice zbývajících po odstranění i-tého řádku a j-tého sloupce.
(-1) umocněná na sudou mocninu se rovná 1. (-1) umocněná na lichou mocninu se rovná -1.
Pro čtvercovou matici 3 x 3
Definujme algebraické doplňky prvků této matice A.
Algebraický doplněk prvku a11 matice A:
Algebraický doplněk prvku a12 matice A:
Algebraický doplněk prvku a33 matice A:
— sjednocovací matice složená z algebraických doplňků prvků matice A, které jsou transponovány.
Pro čtvercovou matici 3 x 3
Sjednocená matice bude také 3 krát 3, ale její prvky budou algebraické doplňky
1. Determinant se nezmění, pokud se řádky zamění se sloupci (transponují se)
2. Pokud jsou všechny prvky libovolného řádku (sloupce) determinantu rovny nule, pak je determinant roven nule.
3. Pokud se všechny prvky libovolného řádku (sloupce) determinantu vynásobí číslem, pak se hodnota determinantu vynásobí tímto číslem (společný dělitel libovolného řádku (sloupce) může být vzat mimo determinant nebo lze provést inverzní akci).
Pokud se změní znaménko prvků libovolného řádku (sloupce) determinantu, pak se znaménko determinantu také změní (mínus všech prvků libovolného řádku (sloupce) lze vzít mimo determinant nebo provést opačnou akci).
4. Když jsou libovolné dva řádky (sloupce) permutovány, hodnota determinantu změní znaménko na opačné
5. Pokud má determinant dva shodné řádky (sloupce), pak je determinant roven nule.
6. Pokud jsou v determinantu prvky libovolného řádku (sloupce) úměrné odpovídajícím prvkům jiného řádku (sloupce), pak je determinant roven nule.
7. Determinant se nezmění, pokud prvky libovolného řádku (sloupce) přičteme k odpovídajícím prvkům jiného řádku (sloupce) vynásobeným stejným číslem.
8. Determinant součinu dvou čtvercových matic se rovná součinu jejich determinantů.
9. Pokud jsou prvky libovolného řádku (sloupce) determinantu prezentovány jako součet dvou čísel, pak se determinant rovná součtu determinantů, v nichž odpovídající řádek (sloupec) obsahuje pouze jeden člen a zbývající řádky (sloupce) jsou stejné jako v původním determinantu.
10. Pokud jsou prvky libovolného řádku (sloupce) determinantu rovny lineární kombinaci odpovídajících prvků libovolných ostatních řádků (sloupců), pak je takový determinant roven nule.
Laplaceova věta. Hodnota determinantu se rovná součtu součinů prvků libovolného řádku (sloupce) a jejich algebraických doplňků. Rozvoj o prvky 1. řádku
Rozklad podle prvků 1. sloupce
Při hledání determinantu je lepší rozvinout ho o prvky řádku nebo sloupce, které obsahují více nul nebo jedniček (součin s jedničkou nebo nulou se provádí snadněji).
Součet součinů prvků libovolného řádku (sloupce) algebraickými doplňky prvků jiného řádku (sloupce) je roven nule.
Příklad: Najdeme determinant 2. řádu jeho rozšířením o prvky 1. řádku:
Příklad: Najdeme determinant jeho rozšířením o prvky 1. řádku:
= 6·27-16·17+10·11 = 2·(3·27-8·17+5·11) = 2·(81-136+55) = 0.
Je vhodné najít každý determinant z výsledného součtu jeho rozložením na prvky 3. sloupce, který se skládá pouze z jednotek.
Úkol. Najděte determinant
Pro výpočet determinantu jej pokaždé rozvineme o prvky prvního sloupce, který obsahuje jedničky a nuly.
Problém 1.2.45 [1]
= 2· (7 — 12) · (1 · 2 — 4 · 3) = 2· (- 5) · (- 10) = 2·50 = 100.
Pro čtvercovou matici A lze najít inverzní matici
kde Δ je determinant matice A;
— sjednocovací matice složená z algebraických doplňků prvků matice A.
— transponovaná sjednocovací matice.
8.1 Hledání inverzní matice pomocí Jordanovy metody
K matici systému A přidáme vpravo jednotkovou matici stejné velikosti. Pak ekvivalentními transformacemi přes řádky dosáhneme jednotkové matice vlevo a vpravo inverzní matici.
Pokud k matici systému A přidáme zdola jednotkovou matici stejné velikosti.
Pak pomocí ekvivalentních transformací nad sloupci dosáhneme jednotkové matice shora a zdola inverzní matici.
Lineární soustava rovnic je nedegenerovaná, pokud její determinant není roven nule Δ ≠ 0.
9.1 Pořadí matice
Hodnost matice A je největší řád minoru této matice, který není roven nule. Hodnost matice A se označuje r, r(A) nebo rang A a leží v intervalu
0 ≤ rozsah A ≤ min(m; n).
Minory, jejichž pořadí určuje hodnost matice, se nazývají bázové minory.
Úkol Č. 611. Vyřešte soustavu rovnic [2]
Gaussova metoda – 1. metoda
Rozšířená systémová matice
Odpovídající systém rovnic
Řešíme zdola nahoru
Maticová metoda (inverzní maticová metoda) – 2. metoda
Sloupcová matice volných členů
Zapišme soustavu rovnic v maticovém tvaru
Hledáme řešení ve tvaru
1. způsob, jak najít inverzní matici
Najdeme determinant matice systému A
Najděte matici algebraických doplňků pro matici
Z algebraických doplňků tvoříme sjednocovací matici
Transponujte sjednocovací matici
Vynásobením inverzní matice sloupcem volných členů získáme řešení systému
Sloupcová matice řešení systému
2. metoda nalezení inverzní matice Jordanovou metodou
K matici systému A přidáme vpravo jednotkovou matici stejné velikosti. Pak ekvivalentními transformacemi přes řádky dosáhneme jednotkové matice vlevo a vpravo inverzní matici.
Gaussova-Jordanova metoda – 3. metoda pro řešení soustavy rovnic
Pokud k matici soustavy vpravo přidáme sloupec volných členů (získáme rozšířenou matici), pak v důsledku elementárních transformací místo matice soustavy je nutné získat jednotkovou matici, pak vpravo získáme matici ve sloupci A -1 B, která je rovna matici ve sloupci řešení soustavy X.
[A | B] → [E | A -1 B] → [E | X]
Rozšířená systémová matice
Výsledná matice odpovídá soustavě rovnic
Sloupcová matice řešení systému
Cramerova metoda je následující. Pokud determinant soustavy není roven nule
pak první neznámá
příkladVyřešte soustavu pomocí Cramerovy metody
Nahradíme první sloupec sloupcem volných členů
Nahradíme druhý sloupec sloupcem volných členů
Nahradíme třetí sloupec sloupcem volných členů
příkladVyřešte soustavu pomocí Gaussovy metody
Sestrojme rozšířenou matici a pomocí ekvivalentních transformací nastavme prvky pod hlavní diagonálou systémové matice na nulu.
Výsledná matice odpovídá soustavě rovnic
Soustavu rovnic řešíme zdola nahoru
Příklad. Vyřešte soustavu rovnic pomocí Gaussovy metody
Sestrojme rozšířenou matici a pomocí ekvivalentních transformací nastavme prvky pod a nad hlavní diagonálou systémové matice na nulu (Gaussova-Jordanova metoda)
Výsledná matice odpovídá soustavě rovnic
Dosadíme řešení do původní soustavy rovnic
Soustava rovnic v maticovém tvaru
Pokud determinant matice není roven nule (detA ≠ 0), pak existuje inverzní matice A-1.
Matice vynásobená X v maticové rovnici se přesune na druhou stranu rovnice jako inverzní matice vynásobená B v řešení maticové rovnice. Řešení soustavy rovnic v maticovém tvaru
Pokud je soustava rovnic v maticovém tvaru
pak řešení soustavy rovnic v maticovém tvaru. X vynásobeno maticí v maticové rovnici se rovná B vynásobenému inverzní maticí v řešení maticové rovnice:
Pokud soustava rovnic v maticovém tvaru obsahuje matice A a C
pak řešení soustavy rovnic v maticovém tvaru
Poloha matice v maticové rovnici vzhledem k X (před nebo po) je zachována vzhledem k poloze inverzní matice vzhledem k B (před nebo po).
Příklad 1.4.29 [ 1 ] Vyřešte maticovou rovnici
Řešení maticové rovnice XA = B ve tvaru
Inverzní matici najdeme pomocí Jordanovy metody. Za tímto účelem zapíšeme jednotkovou matici napravo od systémové matice, poté pomocí elementárních transformací získáme jednotkovou matici nalevo a následně inverzní matici napravo.
příkladVyřešte soustavu pomocí maticové metody.
Matice soustavy rovnic se skládá z koeficientů pro neznámé
Sloupcový vektor volných členů
Soustava rovnic (1) v maticovém tvaru
Pokud determinant matice není roven nule (detA ≠ 0), pak existuje inverzní matice A-1. Řešení soustavy rovnic v maticovém tvaru
Determinant matice soustavy rovnic
Algebraické doplňky maticových prvků
Najděte inverzní matici
Příklad. Řešte pomocí Cramerovy metody a metody inverzních matic
Cramerova metoda
Najděme determinant matice systému
Nahraďme první sloupec sloupcem volných členů a najděme determinant
Nahraďme druhý sloupec sloupcem volných členů a najděme determinant
Nahraďme třetí sloupec sloupcem volných členů a najděme determinant
Řešení soustavy rovnic
Metoda inverzní matice
Matice soustavy rovnic
sloupcový vektor konstantních členů
Soustavu rovnic lze zapsat jako rovnici
pak se řešení nachází z rovnice
Najděme inverzní matici. Nejprve najdeme determinant matice systému
Najdeme algebraické doplňky prvků matice systému
Odpověď: sloupcový vektor řešení systému
Výzva. Zapište soustavu rovnic odpovídající rozšířené matici a vyřešte výslednou soustavu rovnic
Prvky pod hlavní diagonálou soustavy matic vynulujeme. To provedeme tak, že vynásobíme 2. řádek číslem (-2) a přičteme 2. řádek k 3. řádku, výsledek zapíšeme místo 3. řádku.
Výsledná rozšířená matice odpovídá soustavě rovnic
Řešíme zdola nahoru
Ve výsledné soustavě rovnic není proměnná z jednoznačně definována, takže není možné jednoznačně definovat požadované proměnné. Proměnná z může být libovolná, takže soustava rovnic bude odpovídat nekonečnému počtu řešení.
Výzva. Vyřešte soustavu rovnic
Rozšířená systémová matice
Výsledná rozšířená matice odpovídá soustavě rovnic
Řešíme zdola nahoru
Ve výsledné soustavě rovnic není proměnná z jednoznačně definována, takže není možné jednoznačně určit požadované proměnné. Proměnná z může být libovolná, takže soustava rovnic bude odpovídat nekonečnému počtu řešení.
Výzva. Pro jaké hodnoty m a n má soustava rovnic nekonečný počet řešení?
Rozšířená systémová matice
Výsledná rozšířená matice odpovídá soustavě rovnic
Řešíme zdola nahoru
Ve výsledné soustavě rovnic není proměnná z jednoznačně definována, takže není možné jednoznačně určit požadované proměnné. Proměnná z může být libovolná, takže soustava rovnic bude odpovídat nekonečnému počtu řešení.
1. Lungu K.N. Sbírka úloh z vyšší matematiky. 1. ročník / K.N. Lungu, D.T. Pismennyj, S.N. Fedin, Ju.A. Ševčenko. 7. vydání. – M.: Iris-press, 2008. – 576 s.
2. Minorsky V.P. Sbírka úloh z vyšší matematiky. Moskva: Nauka. – 1971 – 352 s.
© 04.01.2023/XNUMX/XNUMX Olševskij Andrej Georgijevič e-mail: da.irk.ru@mail.ru
Trh s elektronikou se neustále vyvíjí a každý rok se objevují nové typy zařízení. Je velmi důležité vědět, jaký typ matice se v zařízení používá, aby bylo možné správně vybrat potřebné komponenty pro opravu nebo modernizaci.
Matice LVDS (Low-Voltage Differential Signaling) a EDP (Embedded DisplayPort) jsou nejběžnějšími typy matic pro notebooky a monitory. Existuje několik způsobů, jak zjistit, jaký typ matice se ve vašem zařízení používá.
První způsob:
Jedním z nejjednodušších způsobů, jak určit typ matice, je věnovat pozornost kabelu, který se k matici připojuje. Pokud má kabel datovou sběrnici se 40 kontakty a 1 napájecím kontaktem, jedná se o matici LVDS. Pokud má datová sběrnice šířku 30 kontaktů a 2 napájecí kontakty, jedná se o matici EDP.
Druhý způsob:
Nyní, když znáte rozdíly mezi maticemi LVDS a EDP, můžete identifikovat typ matice ve vašem zařízení a v případě potřeby podniknout příslušná opatření. Užijte si to!
Matrix: Co to je?
Každý pixel matice obsahuje tranzistor, který je zodpovědný za řízení jasu tohoto pixelu. Na matrici se nacházejí i další prvky, které zajišťují přenos signálu a napájení pixelů.
Existují různé typy matic, jako například TN, IPS, VA a OLED, které se liší svými technickými vlastnostmi a schopností reprodukovat barvy a úrovně jasu.
Funkce LVDS
Jednou z hlavních vlastností LVDS je nízká spotřeba energie, díky čemuž je tato technologie ideální pro mobilní zařízení. Díky nízké spotřebě energie pomáhá LVDS prodloužit životnost baterie zařízení a snížit její zátěž.
LVDS také poskytuje vysoké rychlosti přenosu dat, což umožňuje jasný a rychlý obraz na obrazovce. To je obzvláště důležité pro zařízení s vysokým rozlišením displeje, jako jsou notebooky, monitory a televizory.
Další výhodnou vlastností LVDS je jeho odolnost vůči rušení. Použitím diferenciálního signálu dokáže LVDS odolávat účinkům elektromagnetického rušení a šumu, což umožňuje stabilnější a kvalitnější obraz na obrazovce.
LVDS je tedy spolehlivá a energeticky úsporná technologie přenosu dat, která poskytuje vysokou rychlost a stabilitu obrazu na obrazovce. Díky tomu je ideální volbou pro různá zobrazovací zařízení.
Vlastnosti elektronického zpracování dat (EDP)
Zvláštností EDP je, že podporuje přenos video signálu a audio signálu po jednom kabelu, což zjednodušuje připojení displeje a zvukového systému ke zdroji dat.
Na rozdíl od jiných typů matic umožňuje EDP obraz s vysokým rozlišením a vysokou obnovovací frekvencí, což z něj činí ideální volbu pro profesionální notebooky a herní monitory.
EDP také poskytuje nízkou latenci a vysoké rychlosti přenosu dat, což umožňuje rychlé zobrazení pohyblivých obrázků a videí bez rušení nebo artefaktů.
Kromě toho EDP podporuje funkci zastavení přenosu dat (DPCD), která umožňuje displeji přejít do úsporného režimu hlubokého spánku, což může prodloužit výdrž baterie zařízení.
Jak určit typ matice
Chcete-li určit typ matice, například LVDS nebo EDP, musíte se nejprve podívat na technické vlastnosti obrazovky nebo zařízení, na kterém je nainstalována.
Důležitým parametrem pro určení typu matice je konektor použitý k připojení obrazovky k zařízení. Konektory pro LVDS a EDP se často liší a mají různé tvary nebo konfigurace kontaktů.
Můžete se také podívat na dokumentaci nebo specifikace zařízení či matice, které by měly uvádět informace o použitém typu matice. To může být důležité při hledání náhradní obrazovky nebo při výběru vhodného adaptéru pro připojení obrazovky k počítači.
Poznámka: V případě, že matice nemá jasné typové označení nebo nemůžete najít informace o konektoru, doporučuje se kontaktovat výrobce nebo dodavatele součástky, aby vám poskytl přesné informace o typu matice.
Obecně platí, že pro určení typu matice byste se měli nejprve podívat do dokumentace nebo technických specifikací zařízení či obrazovky. Pokud informace nejsou k dispozici, můžete se obrátit na výrobce nebo k určení typu matice použít speciální nástroje.
Typ matice (LVDS nebo EDP) lze určit s ohledem na následující faktory:
1. Konektor základní desky: Pokud má základní deska konektor označený „LVDS“ nebo „EDP“, označuje to typ použité matice.
2. Rozlišení a počet kontaktů: Matice LVDS mají obvykle rozlišení 1366×768 nebo 1920×1080 a 40pinový konektor, zatímco matice EDP mohou mít různá rozlišení a počet pinů.
3. Rozhraní na matici: Při bližším zkoumání může mít samotná matice nápisy „LVDS“ nebo „EDP“, což označuje typ rozhraní.
4. Kódy výrobců: Někdy může matice obsahovat kódy výrobce, které lze prozkoumat a poskytnout tak informace o typu matice.
Obecně platí, že pro určení typu matice je třeba pečlivě prozkoumat konektory a nápisy na základní desce a samotné matici a také analyzovat rozlišení a počet kontaktů. Tyto faktory pomohou určit, zda je matice LVDS nebo EDP.
