Délka oblouku kalkulátoru kruhu a vzorců

Definice Obvod je soubor všech bodů v rovině, které jsou ve stejné vzdálenosti od daného bodu О, který se nazývá střed kruhu.

Definice Jednotkový kruh — kruh, jehož poloměr je roven jedné.
Definice Kruh – část roviny ohraničená kružnicí.
Definice Poloměr kruhu R — vzdálenost od středu kruhu О do libovolného bodu na kruhu.

Definice Průměr kruhu D – úsečka, která spojuje dva body na kružnici a prochází jejím středem.

Základní vlastnosti kružnice

1. Průměr kruhu se rovná dvěma poloměrům.
2. Nejkratší vzdálenost od středu kruhu k sečně (tetivě) je vždy menší než poloměr.
3. Prostřednictvím tří bodů, které neleží na stejné přímce, lze nakreslit pouze jednu kružnici.
4. Mezi všemi uzavřenými křivkami se stejnou délkou má kruh největší plochu.

5. Pokud se dvě kružnice dotýkají v jednom bodě, pak tento bod leží na přímce, která prochází středy těchto kružnic.

Vzorce pro obvod a plochu kruhu

Vzorce pro obvod

1. Vzorec pro obvodový průměr:
2. Vzorec pro obvod přes poloměr:

Vzorce pro oblast kruhu

1. Vzorec pro oblast kruhu přes poloměr:
2. Vzorec pro oblast kruhu z hlediska průměru:

Rovnice kruhu

1. Rovnice kružnice s poloměrem r a středem v počátku kartézského souřadnicového systému:

2. Rovnice kružnice o poloměru r a středem v bodě se souřadnicemi (a, b) v kartézském souřadnicovém systému:

r2 = (x – a) 2 + ( y – b) 2

3. Parametrická rovnice kružnice o poloměru r a středem v bodě se souřadnicemi (a, b) v kartézském souřadnicovém systému:

Tečna kružnice a její vlastnosti

Definice Tangenta kružnice – přímka, která se dotýká kružnice pouze v jednom bodě.

Základní vlastnosti tečen ke kružnici

1. Tečna je vždy kolmá k poloměru kružnice nakreslené v bodě dotyku.
2. Nejkratší vzdálenost od středu kružnice k tečně se rovná poloměru kružnice.

3. Pokud dvě tečny s body dotyku B a C na jedné kružnici nejsou rovnoběžné, pak se protínají v bodě A a úsečka mezi bodem dotyku a průsečíkem jedné tečny je rovna stejné úsečce na druhé tečně:

Pokud také nakreslíte přímku středem kružnice O a průsečíkem A těchto tečen, pak budou úhly vytvořené mezi touto přímkou ​​a tečnami stejné:

Sekans kruhu a jeho vlastnosti

Definice Kruhová sečna – přímka, která prochází dvěma body na kružnici.

Základní vlastnosti sečen

1. Vycházejí-li z bodu mimo kružnici (Q) dvě sečny, které kružnici protínají ve dvou bodech A a B pro jednu sečnu a C a D pro druhou sečnu, pak jsou součiny úseček dvou sečn stejné k sobě navzájem:

2. Vybíhá-li z bodu Q mimo kružnici sečna, která kružnici protíná ve dvou bodech A a B, a tečna s bodem dotyku C, pak se součin sečnic rovná druhé mocnině délky. tečného segmentu:

Tětiva kružnice, její délka a vlastnosti

Definice Akord kruhu – segment, který spojuje dva body na kružnici.

Délka akordu

1. Délka tětivy přes středový úhel a poloměr:

AB = 2 r sin α 2

2. Délka tětivy přes vepsaný úhel a poloměr:

Základní vlastnosti akordů

1. Dva stejné tětivy tvoří dva stejné oblouky:

pokud akordy AB = CD, pak

2. Pokud jsou tětivy rovnoběžné, pak budou oblouky mezi nimi stejné:

pokud akordy AB ∣∣ CD, pak

3. Je-li poloměr kružnice kolmý k tětivě, pak tětivu v místě jejich průsečíku rozděluje na poloviny:

4. Pokud se dva tětivy AB a CD protínají v bodě Q, pak součin úseček, které vznikly v průsečíku jednoho tětivy, se rovná součinu úseček druhého tětivy:

5. Tetivy stejné délky jsou ve stejné vzdálenosti od středu kruhu.

pokud akordy AB = CD, pak

6. Čím větší je tětiva, tím blíže je ke středu.

Středový úhel, vepsaný úhel a jejich vlastnosti

Definice Středový úhel kruhu – úhel, jehož vrchol je středem kružnice.

Definice Úhel vepsaný do kruhu – úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jehož strany kružnici protínají.

Základní vlastnosti úhlů

1. Všechny vepsané úhly, které spočívají na jednom oblouku, jsou stejné.

2. Vepsaný úhel, který spočívá na průměru, bude pravý (90°).

3. Vepsaný úhel je roven polovině středového úhlu, který vychází ze stejného oblouku

4. Jestliže dva vepsané úhly spočívají na jedné tětivě a jsou umístěny na jejích různých stranách, pak je součet těchto úhlů roven 180°.

Definice Oblouk kruhu (◡) je část kružnice, která spojuje dva body na kružnici.

Definice Stupňová míra oblouku – úhel mezi dvěma poloměry, které omezují tento oblouk. Míra stupně oblouku je vždy stejná jako míra stupně středového úhlu, který omezuje tento oblouk na jeho strany.

Vzorec délky oblouku přes středový úhel (ve stupních):
Definice půlkruh – oblouk, ve kterém jsou konce spojeny průměrem kruhu.
Definice Půlkruh ( ◓ ) – část kruhu, která je omezena půlkruhem a průměrem.

Definice Sektor ( ◔ ) je část kružnice, která je omezena dvěma poloměry a obloukem mezi těmito poloměry.

Vzorec. Oblastní sektorový vzorec přes středový úhel (ve stupních)

S = π r 2 360° ∙ α

Definice Segment – část kružnice, která je ohraničena obloukem a tětivou, která spojuje její konce.

Definice Soustředné kruhy – kružnice s různými poloměry, které mají společný střed.

Délka kruhového oblouku — je důležitý parametr, který se používá v geometrii a matematice k řešení různých problémů. Tato stránka poskytuje dva vzorce pro výpočet délky oblouku kruhu: pomocí poloměru a úhlu mezi poloměry a pomocí Huygensova vzorce. Můžete také vypočítat délku oblouku kruhu pomocí kalkulačky, která tyto vzorce používá.

Oblouk — jedna ze dvou podmnožin kruhu, do které je rozdělena libovolnými dvěma odlišnými body, které k němu patří. Jakékoli dva body na kružnici ji rozdělují na dvě části, z nichž každá je oblouk.

Abychom to zobecnili, oblouk kružnice je část kružnice ohraničená dvěma jejími body. Níže jsou uvedeny některé příklady kruhových oblouků:

• Celý kruh – je oblouk, který pokrývá celý kruh. Úhel, který definuje úplný kruh, je 360° nebo 2π radiány. Délka oblouku celého kruhu se rovná celkovému obvodu, který lze vypočítat pomocí vzorce L = 2πr, kde r je poloměr kružnice.
• půlkruh – je oblouk, který pokrývá polovinu kruhu. Úhel vymezující půlkruh je 180° nebo π radiánů. Délka oblouku půlkruhu se rovná polovině celkové délky kruhu a lze ji vypočítat pomocí vzorce L = πr.
• Sektor kruhu — je oblast ohraničená obloukem kružnice a jejími dvěma poloměry.

Toto je jen několik příkladů kruhových oblouků. Oblouky mohou mít různé velikosti a tvary v závislosti na úhlu, který je definuje, a na jejich umístění na kružnici.

Vzorec pro délku oblouku kružnice přes poloměr a úhel

R – poloměr kruhu

α — středový úhel (úhel mezi poloměry) ve stupních

R – poloměr kruhu

α — středový úhel (úhel mezi poloměry) v radiánech

Vzorec pro délku oblouku kružnice pomocí Huygensova vzorce

m — délka tětivy m

M – délka tětivy M

Vezměte prosím na vědomí, že tento vzorec nepoužívá obvyklé znaménko rovná se „=“, ale znaménko „stejné nebo téměř stejné“, které se zapisuje jako „přibližně“. To je způsobeno tím, že Huygensův vzorec dává chybu ve výpočtu. I když je chybovost malá, je důležité o ní vědět.

Relativní chyba Huygensova vzorce je asi 0,5 %, když je úhel oblouku 60°. Pokud se úhlová míra oblouku sníží, chyba se také sníží. Například pro oblouk 45° bude relativní chyba přibližně 0,02 %.

Příklady problémů při hledání délky oblouku

Najděte délku oblouku kruhu o poloměru 6 cm, pokud je jeho míra stupňů 30.

K vyřešení tohoto problému nám bude vyhovovat první vzorec. Dosadíme do něj hodnoty poloměru a úhlu a provedeme výpočty:

Zadejme známé hodnoty do kalkulačky, abychom zkontrolovali odpověď, kterou dostaneme.

Najděte délku oblouku kružnice o poloměru 3 cm, je-li jeho míra stupňů 150 stupňů.

Úkol je podobný předchozímu. Použijme také první vzorec.

Kalkulačka nám pomůže znovu zkontrolovat naši odpověď.

Délka oblouku kruhu má mnoho využití v matematice a jejích aplikacích. Například se používá k výpočtu délky oblouku grafu funkce zadané v polárních souřadnicích. Délka kruhového oblouku se také používá k výpočtu dráhy, kterou urazí těleso při pohybu v kruhu, a také k výpočtu objemu tělesa získaného rotací oblouku kruhu kolem jeho průměru.